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一元函数极限与多元函数极限是数学分析中两个重要的概念，它们之间既有联系又有区别。下面从定义、性质和应用等方面对两者进行比较。一元函数极限定义：设函数$f(...

一元函数极限与多元函数极限是数学分析中两个重要的概念，它们之间既有联系又有区别。下面从定义、性质和应用等方面对两者进行比较。一元函数极限定义：设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（无论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0 < |x - x_0| < \delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x) - A| < \epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x \to x_0$时的极限。性质：一元函数极限具有唯一性、有界性、保号性等基本性质。应用：一元函数极限在求导数、积分、级数求和等方面有广泛应用。多元函数极限定义：设函数$f(x, y)$在点$P_0(x_0, y_0)$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（无论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当点$P(x, y)$满足不等式$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$时，对应的函数值$f(x, y)$都满足不等式$|f(x, y) - A| < \epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x, y)$当$(x, y) \to (x_0, y_0)$时的极限。性质：多元函数极限也具有唯一性、有界性等基本性质，但保号性不再成立。应用：多元函数极限在研究函数的连续性、偏导数、全微分等方面有重要作用。总结一元函数极限与多元函数极限都是研究函数在某一点附近行为的重要工具。一元函数极限相对简单，而多元函数极限由于涉及到多个变量，其定义和性质更加复杂。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的工具进行分析和研究。