数学分析 函数概念PPT
以下是数学分析中函数概念的相关内容，希望能对你有所帮助。函数的概念函数的定义函数是一种关系，它表达了在集合$A$中的每个元素与集合$B$中的一个元素对应。...
以下是数学分析中函数概念的相关内容，希望能对你有所帮助。函数的概念函数的定义函数是一种关系，它表达了在集合$A$中的每个元素与集合$B$中的一个元素对应。我们记作 $f: A \rightarrow B$。在这个定义中，$f$是函数的名称，A和B是两个域，一个是定义域，另一个是陪域。函数$f$的作用是将A中的每一个元素映射到B中的唯一一个元素。在更具体的情况下，如果A是实数集合$\mathbb{R}$，B是$\mathbb{R}$的子集，那么函数$f$就是常见的数学函数。函数的性质确定性对于A中的任意元素$x$，都有且仅有$y \in B$使得$f(x) = y$单射如果$f(x_1) = f(x_2)$，那么$x_1 = x_2$。也就是说，函数$f$的每一个输出值对应输入值是唯一的满射对于B中的每一个元素$y$，都有至少一个$x \in A$使得$f(x) = y$。也就是说，函数的输出集包含输入集的所有的元素可计算对于A中的任意元素$x$，都存在一个计算过程能得到$f(x)$的值函数的表示函数可以用多种方式表示，包括解析法（如 $f(x) = x^2$）、表格法（如 $f(x) = \begin{cases} 1 & x \text{ 是正数} \ 0 & x \text{ 是负数或零} \end{cases}$）、图示法（如 $f(x) = \sin x$ 的图示）。这些表示方法只是函数的诸多表现形式，不影响函数的基本属性。函数的例子$f(x) = x^2 + 2x + 1\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是一个函数。对于任意给定的实数$x$，都有唯一确定的实数$y = x^2 + 2x + 1$与之对应$g(n) = 2n + 1\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$也是一个函数。每一个非负整数n都有唯一确定的非负整数$m = 2n + 1$与之对应$h(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \ x & x > 0 \end{cases}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是一个函数。当$x \leq 0$时，有唯一确定的实数$y = x^2$与之对应；当$x > 0$时，有唯一确定的实数$y = x$与之对应函数的定义域和陪域定义域是函数起作用的那个集合，陪域是函数结果所在的集合。在上述例子中可以看出，不同的函数有不同的定义域和陪域。例如，在函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$中，定义域是$\mathbb{R}$，陪域也是$\mathbb{R}$；在函数 $g(n) = 2n + 1: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$中，定义域是$\mathbb{N}$，陪域也是$\mathbb{N}$；在函数 $h(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \ x & x > 0 \end{cases}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$中，定义域是$\mathbb{R}$，陪域也是$\mathbb{R}$。复合函数如果有一个函数 $g: B \rightarrow C$ 和另一个函数 $f: A \rightarrow B$，那么我们可以将这两个函数结合起来形成一个新的函数 $g \circ f: A \rightarrow C$。这个新函数定义为：$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ 对于所有 $x \in A$。在这个定义中，$\circ$ 是复合函数的操作符。例如，设 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 和 $g(y) = y^2 - 3y + 2$。那么我们有 $(g \circ f)(x) = g(
