分支限界法PPT

分支限界法是一种求解最优化问题的算法，其基本思想是将问题的可行解展开，再由各个分支寻找最佳解。在分支限界法中，分支是使用广度优先策略，依次生成扩展结点的所...

分支限界法是一种求解最优化问题的算法，其基本思想是将问题的可行解展开，再由各个分支寻找最佳解。在分支限界法中，分支是使用广度优先策略，依次生成扩展结点的所有分支。限界是在结点扩展过程中，计算结点的上界（或下界），边搜索边减掉搜索树的某些分支，从而提高搜索效率。分支限界法与回溯法的区别分支限界法和回溯法都是在问题的解空间树上搜索问题的解，但是它们之间存在明显的区别。求解目标不同回溯法是找出满足约束条件的所有解，而分支限界法是找出满足条件的一个解，或某种意义下的最优解。搜索方式不同回溯法采用深度优先策略搜索解空间树，而分支限界法则采用广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。分支限界法的分类分支限界法可以分为两种类型：队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。队列式分支限界法队列式分支限界法将活结点表组织成一个队列，并按队列的先进先出原则选取下一个结点为当前扩展结点。优先队列式分支限界法优先队列式分支限界法将活结点表组织成一个优先队列，并按优先队列中规定的结点优先级选取优先级最高的下一个结点为当前扩展结点。这种方法通常使用堆（大根堆/小根堆）来实现。分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想可以概括为以下几个步骤：确定一个合理的限界函数并根据限界函数确定目标函数的界[down,up]按照广度优先策略搜索问题的解空间树a. 在当前扩展结点处，生成所有儿子结点。b. 估算所有儿子结点对目标函数的可能取值，舍弃不可能通向最优解的结点（剪枝），将其余的加入到活结点表中。c. 在当前活结点表中，依据先进先出或某种优先级（最小耗费或最大效益）策略，从当前活结点表中选择一个结点作为扩展结点。直到找到所需的解或活结点表为空分支限界法的应用示例：单源最短路径问题单源最短路径问题是图论中的一个经典问题，给定一个有向图G和源顶点s，要求找出从s到所有其他顶点的最短路径。这个问题可以通过分支限界法来求解。基本思想解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。算法步骤a. 初始化：创建一个空的最小堆H，将源顶点s作为根结点加入H中，设置s的距离为0。b. 从堆H中取出当前路长最小的结点u作为扩展结点。c. 对于u的每个邻接点v，如果通过u到达v的路径长度小于v当前的距离值，则更新v的距离值，并将v加入堆H中。d. 重复步骤b和c，直到堆H为空。此时，所有可达顶点的最短路径都已经被找到。总结分支限界法是一种有效的求解最优化问题的算法，它通过广度优先搜索解空间树，并利用限界函数进行剪枝，从而提高了搜索效率。与回溯法相比，分支限界法更注重于找到满足条件的一个解或最优解，而不是所有解。在实际应用中，分支限界法被广泛应用于各种最优化问题，如旅行商问题、背包问题等。六、分支限界法在多核系统实时多任务映射中的应用随着多核处理器的普及，多核系统实时多任务映射问题变得越来越重要。多核系统实时多任务映射的目标是将多个任务映射到多核处理器上，以最小化任务间的通信量，提高系统的整体吞吐率。这个问题是一个典型的优化问题，可以通过分支限界法来求解。1. 问题定义假设有n个任务需要映射到m个核处理器上。每个任务有一个执行时间和一个通信量。任务间的通信量表示任务之间需要传递的数据量。目标是找到一个任务到核的映射，使得所有任务的总执行时间最小，同时尽量减少任务间的通信量。2. 分支限界法求解首先，需要定义一个限界函数来评估一个映射方案的优劣。限界函数可以基于任务的总执行时间和通信量来定义。例如，可以定义一个加权和作为限界函数的值，其中执行时间和通信量的权重可以根据实际情况进行调整。然后，需要生成解空间树。解空间树的每个节点表示一个映射方案，从根节点到叶子节点的路径表示一个完整的映射过程。在生成解空间树时，可以采用广度优先策略，逐层生成子节点。在搜索解空间树的过程中，需要利用限界函数进行剪枝。如果某个节点的限界函数值已经大于当前最优解的值，那么可以剪掉这个节点的所有子节点，因为它们不可能成为最优解。在搜索解空间树的过程中，需要选择一个节点作为扩展节点。可以选择限界函数值最小的节点作为扩展节点，这样可以尽快找到最优解。3. 算法步骤创建一个空的优先队列H，将初始映射方案作为根节点加入H中。设置初始映射方案的总执行时间和通信量作为当前最优解的值。结论分支限界法是一种有效的求解最优化问题的算法，它在多核系统实时多任务映射问题中具有很好的应用前景。通过合理定义限界函数和生成解空间树，分支限界法可以在保证解的质量的同时，显著提高搜索效率。在实际应用中，可以根据具体问题的特点对分支限界法进行优化和改进，以适应不同的需求。八、分支限界法在其他领域的应用1. 集装箱装载问题集装箱装载问题是物流领域中的一个经典问题。给定一系列集装箱和两艘或多艘轮船，每个集装箱有不同的重量，轮船有不同的载重能力。目标是确定一个装载方案，使得所有集装箱都能被装载到轮船上，并且不超过轮船的载重能力。这个问题可以通过分支限界法来求解。假设有n个集装箱和m艘轮船。每个集装箱有一个重量wi，每艘轮船有一个载重能力ci。目标是找到一个装载方案，使得所有集装箱都能被装载到轮船上，并且不超过轮船的载重能力。在这个问题中，可以将每个集装箱看作一个节点，轮船的载重能力作为限界函数。从空载状态开始，逐步添加集装箱到轮船上，同时计算当前装载方案的重量。如果当前装载方案的重量已经超过轮船的载重能力，则剪掉该分支。否则，继续搜索下一个集装箱的装载方案。2. 电路设计在电路设计中，分支限界法可以用于求解最小代价布线问题。给定一个电路图和一组布线规则，目标是找到一种布线方案，使得所有元件之间的连接都满足规则，并且布线的总代价最小。这个问题也可以通过分支限界法来求解。假设有n个元件需要进行布线连接。每个元件有一个位置和一个连接需求。布线的代价与布线的长度、交叉次数等因素有关。目标是找到一种布线方案，使得所有元件之间的连接都满足规则，并且布线的总代价最小。在这个问题中，可以将每个元件的布线方案看作一个节点，布线的总代价作为限界函数。从初始状态开始，逐步生成每个元件的布线方案，并计算当前布线方案的总代价。如果当前布线方案的总代价已经超过当前最优解的值，则剪掉该分支。否则，继续搜索下一个元件的布线方案。总结与展望分支限界法作为一种求解最优化问题的算法，在各个领域都有广泛的应用。它通过广度优先搜索解空间树，并利用限界函数进行剪枝，从而提高了搜索效率。随着问题的复杂性和规模的不断增加，分支限界法的优化和改进将是未来的研究方向。例如，可以通过引入启发式信息来指导搜索过程，提高搜索效率；也可以结合其他优化算法，如遗传算法、模拟退火算法等，来进一步提高求解质量。同时，随着多核处理器和并行计算技术的发展，如何利用这些技术来加速分支限界法的计算也是未来的研究方向之一。十、分支限界法在人工智能与机器学习领域的应用1. 约束满足问题在人工智能领域，分支限界法被广泛应用于解决约束满足问题（Constraint Satisfaction Problem, CSP）。CSP是一类求解在给定一组变量和一组约束条件下，找出满足所有约束条件的解的问题。例如，时间表安排、工作调度等问题都可以转化为CSP进行求解。分支限界法通过不断分支和限界，寻找满足所有约束条件的解空间，从而有效地解决CSP。2. 优化神经网络结构在机器学习领域，分支限界法也被用于优化神经网络结构。神经网络结构的优化是一个复杂的组合优化问题，需要找到最优的网络结构以达到最佳的性能。分支限界法可以通过不断分支和限界，搜索可能的网络结构空间，找到最优的网络结构。这种方法在深度学习领域具有广阔的应用前景。3. 任务调度与路径规划在生产、物流和交通等领域中，分支限界法也被用于求解任务调度和车辆路径规划等优化问题。这些问题可以转化为在给定约束条件下寻找最优解的问题，分支限界法通过不断分支和限界，搜索解空间树，找到最优的任务调度方案或车辆路径规划方案。结论与展望分支限界法作为一种有效的求解最优化问题的算法，在各个领域都有广泛的应用。随着人工智能和机器学习技术的不断发展，分支限界法的应用前景将更加广阔。未来，可以进一步研究分支限界法在各种复杂问题中的应用，如深度学习模型优化、大规模组合优化问题等。同时，也可以探索将分支限界法与其他优化算法相结合，以提高求解质量和效率。此外，随着多核处理器和并行计算技术的发展，如何利用这些技术来加速分支限界法的计算也是未来的研究方向之一。请注意，上述内容仅为示例性文本，实际应用和研究方向可能会根据具体问题和领域的需求而有所不同。