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2.1基本不等式的概念和性质知识点一：基本不等式的概念基本不等式的形式对于任意实数$x$和$y$，都有$x^2 + y^2 \geqslant 2xy$，...

2.1基本不等式的概念和性质知识点一：基本不等式的概念基本不等式的形式对于任意实数$x$和$y$，都有$x^2 + y^2 \geqslant 2xy$，当且仅当$x = y$时等号成立基本不等式的变形通过把等式两边进行加、减、乘、除等运算，可以得到一些变形形式，如$xy \leqslant \frac{x^2 + y^2}{2}$，当且仅当$x = y$时等号成立知识点二：基本不等式的性质对称性基本不等式关于$x$和$y$是对称的，即把$x$和$y$互换位置不影响不等关系传递性若$x \geqslant y$，$z \geqslant w$，则$xz \geqslant yw$等号成立条件当且仅当$x = y$时，基本不等式取等号2.2基本不等式的应用知识点一：利用基本不等式求最值通过基本不等式，可以求解一些函数的最值。例如，对于函数$f(x) = x + \frac{4}{x}$，通过使用基本不等式可以找到其最小值。即当$x > 0$时，有$(x + \frac{4}{x}) \geqslant 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$，当且仅当$x = \frac{4}{x}$即$x = 2$时等号成立，此时函数$f(x)$取得最小值4。知识点二：利用基本不等式证明不等式通过基本不等式，还可以证明一些不等式。例如，要证明$a^2 + b^2 \geqslant 2ab$，只需证明$a^2 + b^2 - 2ab \geqslant 0$，即$(a - b)^2 \geqslant 0$，因为$(a - b)^2 \geqslant 0$恒成立，所以原不等式得证。