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证明由(0，1)开区间中的实数x组成的实数序列的全体作成一基数为c的集合首先，我们需要明确(0,1)开区间中的实数个数是可数的。这是因为(0,1)中的实数...

证明由(0，1)开区间中的实数x组成的实数序列的全体作成一基数为c的集合首先，我们需要明确(0,1)开区间中的实数个数是可数的。这是因为(0,1)中的实数可以按照如下的方式与自然数一一对应：令x在(01)中，并且x的小数表示形式为0.x_1 x_2 x_3则令n=2^k其中k是最小的自然数使得x_k=1则n对应的序列就是x=(x_1x_2, x_3, ...)这样，我们就可以把(0,1)中的所有实数映射到自然数集上，因此(0,1)中的实数的基数是可数的。接下来，我们需要证明由(0,1)中实数序列组成的集合的基数也是c。为此，我们考虑如下映射：对于任何自然数n令f(n)=(0.x_1, x_2, x_3, ...)和g(n)=(0.y_1, y_2, y_3, ...)，其中x_i和y_i分别是n和n+1的小数表示形式的前i位数字则f和g是从自然数集到(01)中实数序列集合的双射因此，由(0,1)中实数序列组成的集合的基数也是c。进而证明由任何实数组成的实数序列的全体所作成的集合的基数也是c我们已经证明了由(0,1)中实数序列组成的集合的基数是c。但是任何实数序列都可以看作是(0,1)中实数序列的一个“扩展”，也就是说，任何一个实数序列都可以看作是(0,1)中某个实数序列的前缀加上一些额外的数字。因此，任何实数序列组成的实数序列集合都可以看作是(0,1)中实数序列集合的一个子集。因此，任何实数序列组成的实数序列集合的基数也应该是c。总结：我们已经证明了由任何实数组成的实数序列的全体所作成的集合的基数也是c。总结在本证明过程中，我们首先利用了自然数与实数之间的映射关系，证明了(0,1)区间中的实数序列集合的基数是c。然后，我们通过说明任何实数序列都可以看作是(0,1)中实数序列的一个“扩展”，证明了由任何实数组成的实数序列的全体所作成的集合的基数也是c。这个证明过程展示了如何利用自然数与实数之间的映射关系，以及如何利用集合之间的包含关系来研究集合的基数。通过这个证明过程，我们可以更深入地理解了实数序列集合的性质和特点，进一步加深了对集合论和实数理论的理解和应用。进一步思考在证明了由任何实数组成的实数序列的全体所作成的集合的基数是c之后，我们可以进一步思考这个结果的意义和影响。首先，这个结果说明了我们能够用有限的符号（在这种情况下是实数）来组成无限集合。这违反了直观的理解，因为我们在日常生活中遇到的无限集合，例如自然数集，都是由有限元素（例如，1，2，3，...）组成的。然而，实数序列集合的例子显示，无限集合也可以由有限的元素组成。其次，这个结果也说明了我们能够用不同的方式来组成同一个无限集合。换句话说，即使我们使用相同的符号（在这种情况下是实数），我们也可以通过不同的方式来组成不同的实数序列，从而得到不同的实数序列集合。这种多样性显示了数学中组合力量的强大，也是数学能够描述和预测现实世界中的复杂现象的原因之一。最后，这个结果也对我们理解数学中的一些基本概念，例如“无限集合”和“可数性”，提供了新的视角。以前我们认为可数的集合是那些可以与自然数集一一对应的集合，但是现在我们知道，可数的集合也可以是由实数序列组成的集合。这说明了数学中的概念并不是绝对的，而是有一定的灵活性，可以在不同的上下文中有着不同的解释和应用。总的来说，这个证明过程不仅帮助我们理解了由任何实数组成的实数序列的全体所作成的集合的基数是c，也让我们更深入地理解了无限集合、可数性以及数学概念的本质。