数据结构 - 树PPT
树（Tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具...
树（Tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。定义树是一种递归的数据结构，所以我们可以使用递归的方式来定义它。一棵树可以定义为：一个空集合（空树）一个由“根节点”和“若干棵互不相交的树”组成的集合其中，这些“互不相交的树”是“根节点”的子树基本术语根节点（Root）树的最顶端的节点，它没有父节点子节点（Child）一个节点下的所有节点都是它的子节点父节点（Parent）除了根节点外，每个节点都有一个父节点兄弟节点（Sibling）具有同一父节点的节点互称为兄弟节点子树（Subtree）节点及其所有后代节点构成的树祖先节点（Ancestor）从根节点到该节点所经过的所有节点子孙节点（Descendant）以某节点为根的子树中的所有节点都是该节点的子孙树的深度（Depth）树中节点的最大层次数叶子节点（Leaf）没有子节点的节点节点的度（Degree）节点的子树数量树的度（Degree of Tree）树中所有节点度的最大值森林（Forest）由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林树的种类树结构有很多种，下面介绍一些常见的树结构：二叉树（Binary Tree）二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，通常子树被称作“左子树”（Left Subtree）和“右子树”（Right Subtree）。满二叉树（Full Binary Tree）除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点完全二叉树（Complete Binary Tree）对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时称之为完全二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）左右两个子树的高度差的绝对值不超过1二叉搜索树（Binary Search TreeBST）：对于树中的每个节点X，它的左子树中的所有项的值小于X的值，它的右子树中的所有项的值大于X的值多叉树（Multiway Tree or M-ary Tree）每个节点可以有多个子树的树结构，也称为M叉树，其中M是树的度。森林由多个互不相交的树组成的集合称为森林。线索二叉树线索二叉树是对二叉树遍历的一种优化。在二叉树中，如果某个节点的左子树为空，则将其左指针指向其前驱节点；如果某个节点的右子树为空，则将其右指针指向其后继节点。这样的操作可以增加遍历二叉树的效率。堆堆是一种特殊的树形数据结构，每个节点都大于（或小于）其子节点，这样的堆称作“大顶堆”（或“小顶堆”）。堆常用于实现优先队列。AVL树AVL树是最先发明的自平衡二叉搜索树。在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。红黑树红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它在计算机科学中应用广泛。红黑树的每个节点都有一个额外的位来表示节点的颜色，可以是红或黑。红黑树的特性包括：每个节点要么是红色要么是黑色根节点是黑色每个叶子节点（NIL节点空节点）是黑色如果一个节点是红色的则它的两个子节点都是黑色对于每个节点从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点B树和B+树B树和B+树是用于维护排序数据的有序性的树，常用于数据库和文件系统中。BB*树是B树的应用树结构在各种应用场景中都有重要作用，以下是几个典型的例子：数据库索引B树、B+树和B*树在数据库中广泛应用于索引结构，用于提高数据的检索速度。这些树结构保证了查询、插入、删除等操作的高效性。文件系统文件系统中的目录结构通常采用树形结构，这样可以方便地管理和访问文件。每个文件和文件夹都可以看作是一个节点，文件夹可以包含子文件夹和文件，形成树状结构。XML和JSON解析XML和JSON等标记语言文档的结构本质上是一种树形结构。解析这些文档时，通常将其转化为内存中的树形结构，方便进行元素的查询和操作。网络通信在网络通信中，TCP/IP协议栈中的路由表通常采用树形结构来存储和管理路由信息，以便快速查找和匹配目标IP地址。编译器和解释器编译器和解释器在处理源代码时，通常会将源代码的语法结构转化为抽象语法树（Abstract Syntax Tree, AST）。AST是一种树形结构，能够方便地表示源代码的语法结构和语义信息，为后续的代码分析和优化提供支持。人工智能和机器学习决策树是一种常见的人工智能和机器学习算法，用于分类和回归任务。决策树的结构本质上是一种树形结构，每个节点表示一个特征或属性，分支表示不同的取值，叶子节点表示分类或回归结果。树的遍历遍历树形结构是树操作中的基本操作之一，常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。对于二叉树，还有层次遍历（也称为广度优先遍历）和深度优先遍历（包括前序、中序和后序遍历）等。前序遍历（Pre-order Traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。对于二叉树，如果先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树，这种遍历方式就是前序遍历。中序遍历（In-order Traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。对于二叉树，如果先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树，这种遍历方式就是中序遍历。后序遍历（Post-order Traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。对于二叉树，如果先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点，这种遍历方式就是后序遍历。层次遍历（Level-order Traversal）层次遍历是按照树的层次从上到下、从左到右的顺序遍历每个节点。对于二叉树，可以使用队列来实现层次遍历。首先将根节点入队，然后循环执行以下操作：出队一个节点并访问它，将它的左子节点和右子节点依次入队。直到队列为空为止。树的实现树形结构可以使用数组或链表来实现。对于二叉树，通常使用链表来实现，每个节点包含数据域和左右指针域。对于多叉树，可以使用孩子表示法或孩子兄弟表示法来实现。孩子表示法孩子表示法是为每个节点分配一个链表，用于存储它的所有孩子节点。这种表示法适用于树中节点度数不固定的情况。每个节点包含数据域、第一个孩子节点的指针和下一个兄弟节点的指针。孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法是将每个节点的第一个孩子节点和下一个兄弟节点分别用两个指针链接起来。这种表示法同样适用于树中节点度数不固定的情况。每个节点包含数据域、第一个孩子节点的指针和下一个兄弟节点的指针。通过这两个指针可以方便地访问节点的所有孩子节点和兄弟节点。树的性质树形结构具有一些重要的性质，这些性质在树的应用和算法设计中具有重要意义。树的高度树的高度定义为从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。对于满二叉树和完全二叉树，高度为log2n（向上取整）。对于平衡二叉树，其高度始终保持在O(log n)的范围内。树的度树的度定义为树中所有节点度的最大值。对于二叉树，度为2；对于多叉树，度大于等于3。节点的度节点的度定义为该节点的子树数量。叶子节点的度为0，根节点的度等于树的度。树的节点数对于包含n个节点的完全二叉树，如果高度为h，则节点数满足以下关系：2^(h-1) <= n < 2^h。对于满二叉树和完全二叉树，节点数n与高度h之间的关系为：n = 2^h - 1。树的边数对于包含n个节点的树，边数为n-1。这是因为树是一个连通的无环图，除了根节点外，每个节点都有一条边与其父节点相连，因此边数比节点数少1。树的操作树形结构提供了多种操作，这些操作对于实现树的功能和应用至关重要。插入节点在树中插入一个新的节点通常涉及确定新节点的位置以及更新相关节点的指针。对于二叉搜索树，插入操作需要找到合适的位置以保持树的搜索性质。删除节点从树中删除一个节点需要考虑多种情况，包括删除叶子节点、删除只有一个子节点的节点以及删除有两个子节点的节点。对于二叉搜索树，删除操作需要保持树的搜索性质不变。查找节点在树中查找节点通常从根节点开始，根据节点的值和树的性质进行遍历。对于二叉搜索树，查找操作可以通过比较节点值来进行高效的搜索。遍历节点遍历节点是树操作中的基本操作之一，用于访问树中的所有节点。常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历。树的旋转在自平衡二叉搜索树中，当插入或删除节点导致树失去平衡时，需要进行树的旋转操作来恢复平衡。常见的旋转操作有左旋和右旋。树的优化针对特定应用的树结构可以通过一些优化方法来提高性能。路径压缩在并查集中，路径压缩是一种优化技术，用于减少查找根节点时的路径长度。通过合并路径上的节点，可以减少后续查找操作的时间复杂度。平衡因子调整在自平衡二叉搜索树中，通过调整节点的平衡因子（左子树高度减去右子树高度）可以保持树的平衡性。当平衡因子超过一定阈值时，需要进行旋转操作来恢复平衡。总结树是一种非常有用的数据结构，它在许多领域都有广泛应用。不同的树结构具有不同的特性和应用场景，选择合适的树结构对于实现高效的算法和解决实际问题至关重要。通过掌握树的基本概念和操作，可以更好地理解和应用树形结构在各种场景中的作用。
