五年级最大公因数概念及例题PPT
一、最大公因数的概念1. 定义最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD），又称最大公约数，指两个或多个整数共有约数中最大的一...
一、最大公因数的概念1. 定义最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD），又称最大公约数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。2. 性质互质关系如果两个数的最大公因数为1，则这两个数互质存在性任何两个正整数都有至少一个公因数，即1唯一性对于给定的两个正整数，它们的最大公因数是唯一的整除性最大公因数能整除这两个数的任意公因数3. 计算方法列举法列举出两个数的所有公因数，从中选出最大的一个辗转相除法（欧几里得算法）用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一次除法的除数）去除较小数，再用出现的余数去除上一步的除数，如此反复，直到最后余数为0为止，则最后一步的除数就是所求的最大公约数二、例题解析例题1：计算两个数的最大公因数题目：求24和36的最大公因数。解析：答案：24和36的最大公因数是12。例题2：判断两个数是否互质题目：判断15和26是否互质。解析：首先计算15和26的最大公因数使用辗转相除法答案：15和26互质。例题3：应用最大公因数解决实际问题题目：一块长方形地砖的长是48厘米，宽是36厘米。如果要使若干块这样的地砖拼成一个正方形，且正好没有剩余，那么至少需要多少块这样的地砖？解析：要使若干块地砖拼成一个正方形且正好没有剩余，那么正方形的边长应该是地砖的长和宽的最大公因数计算48和36的最大公因数答案：至少需要12块这样的地砖。三、练习题求18和24的最大公因数判断14和35是否互质一块正方形地砖的边长是60厘米如果要使用若干块这样的地砖拼成一个大正方形，且正好没有剩余，且使用的地砖数量最少，那么这个大正方形的边长至少是多少厘米？有一堆苹果总数在20至30之间。如果3个3个地数，最后剩下1个；如果4个4个地数，最后也剩下1个。这堆苹果一共有多少个？一个长方形的长是12厘米宽是8厘米。如果将它剪成边长为整厘米数的小正方形，且没有剩余，最少可以剪成多少个这样的小正方形？一个自然数被8除余1被9除余1，被10除也余1，这个自然数最小是多少？四、练习题答案及解析1. 求18和24的最大公因数。答案：6解析：使用辗转相除法，24 ÷18 = 1 ... 6余数为6所以最大公因数为62. 判断14和35是否互质。答案：不是解析：14的因数有1, 2, 7, 1435的因数有1, 5, 7, 35共有的因数有1, 7最大公因数为7不是1，所以14和35不互质3. 正方形地砖拼成大正方形。答案：至少需要36块地砖，大正方形的边长至少为120厘米。解析：首先求60的因数以确定可能的大正方形边长。60的因数有：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60因为要使地砖数量最少所以选择60的最大因数作为大正方形的边长，即60厘米计算大正方形的面积60 × 60 = 3600（厘米²）单块地砖的面积60 × 60 = 3600（厘米²）所需地砖数量 = 大正方形面积 ÷ 地砖面积 = 3600 ÷ 3600 = 1块但因为是大正方形，所以实际上需要4 × 4 = 16块小正方形地砖来拼成一个大正方形但是题目要求使用的地砖数量最少所以我们选择次大的因数作为大正方形的边长，即60的次大因数为30计算大正方形的面积30 × 30 = 900（厘米²）所需地砖数量 = 大正方形面积 ÷ 地砖面积 = 900 ÷ 3600 = 1/4即需要4块小正方形地砖来拼成一个大正方形但是因为需要铺满整个大正方形所以实际上需要2 × 2 = 4个小正方形地砖来组成一个更大的正方形，然后再由9个这样的大正方形组成最终的大正方形，所以总共需要4 × 9 = 36块地砖4. 苹果的数量问题。答案：这堆苹果一共有29个。解析：首先确定苹果数量的范围在20至30之间然后根据题目条件，苹果数量除以3余1，除以4也余1从20开始逐一尝试找到第一个满足这两个条件的数尝试2020 ÷ 3 = 6...2，不满足条件尝试2121 ÷ 3 = 7，不满足条件尝试2222 ÷ 3 = 7...1，满足除以3余1的条件，但22 ÷ 4 = 5...2，不满足除以4余1的条件继续尝试直到2929 ÷ 3 = 9...2，不满足条件尝试3030 ÷ 3 = 10，不满足条件最后尝试2929 ÷ 3 = 9...2，不满足条件；但29 ÷ 4 = 7...1，满足除以4余1的条件因此这堆苹果一共有29个5. 长方形剪成小正方形。**答案**：最少可以剪成4个这样的小正方形。解析：首先求12和8的最大公因数以确定小正方形的边长12和8的最大公因数为4因此小正方形的边长为4厘米计算长方形的面积12 × 8 = 96（厘米²）计算小正方形的面积4 × 4 = 16（厘米²）所需小正方形数量 = 长方形面积 ÷ 小正方形面积 = 96 ÷ 16 = 6个但是因为长方形的长和宽都能被小正方形的边长整除，所以我们可以将长方形划分为2个宽和3个长的小正方形条，总共2 × 3 = 6个小正方形因此最少可以剪成6个边长为4厘米的小正方形6. 被8、9、10除都余1的自然数。答案：这个自然数最小是73。解析：寻找能被8、9、10同时整除的最小数即这三个数的最小公倍数8、9、10的最小公倍数为8 × 9 × 5 = 360（因为10 = 2 × 5所以与8和9无重复质因数）然后加上1，得到能被8、9、10除都余1的最小数：360 + 1 = 73五、总结最大公因数是数学中的一个重要概念，尤其在解决实际问题时非常有用。通过辗转相除法，我们可以有效地计算出两个数的最大公因数。同时，我们也要注意理解最大公因数的性质和在实际问题中的应用。通过以上的练习题及其解析，希望同学们能够更好地掌握最大公因数的概念及其计算方法，并能够灵活运用到实际问题中去。六、进阶例题例题7：利用最大公因数优化分配问题题目：某小学五年级有180名同学，需要分成若干小组进行户外活动。分组要求每组人数相同，且每组人数不少于10人，不多于30人。请问有多少种不同的分组方式？解析：首先我们需要找出180的所有因数，以确定可能的分组人数180的因数有1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180根据题目要求每组人数应该在10到30人之间，所以我们需要筛选出在这个范围内的因数：10, 12, 15, 18, 20, 30因此有6种不同的分组方式，分别是每组10人、12人、15人、18人、20人或30人答案：有6种不同的分组方式。例题8：利用最大公因数解决周期性问题题目：一个长60厘米、宽45厘米的长方形纸板，如果要剪成若干正方形而没有剩余，并且要求正方形尽可能大，那么剪出的正方形的边长是多少厘米？解析：要使剪出的正方形尽可能大我们需要找到60和45的最大公因数，这将是正方形的边长使用辗转相除法计算60和45的最大公因数答案：剪出的正方形的边长是15厘米。七、拓展思考如何找到它们的最大公因数？提示：可以使用辗转相除法，先将其中两个数求出最大公因数，再用这个结果与第三个数求最大公因数，以此类推。有哪些情况会用到最大公因数的知识？提示：比如分糖果、分苹果等平均分配的问题，或者制作正方形格子纸、裁剪布料等需要按照一定规律进行切割的问题。八、练习题一个正方形花坛的边长是24米现在要将其改建为一个长方形花坛，长是36米，宽是多少米？一个数除以3余2除以5余4，除以7余6，这个数最小是多少？一块布料长120厘米宽90厘米，要裁剪成若干同样大小的正方形布块（无剩余），并且要求正方形布块尽可能大。请问每个正方形布块的边长是多少厘米？能裁剪出多少个这样的正方形布块？五年级1班有48人五年级2班有64人，如果要组织两个班的学生进行分组活动，每组人数要相同，每组最多可以有多少人？一张长方形纸片的长是24厘米宽是18厘米。如果要裁成正方形小纸片且没有剩余，最少能裁成多少张正方形小纸片？九、练习题答案及解析1. 正方形花坛改建问题答案：宽是16米。解析：要找到改建后的长方形花坛的宽，我们需要找到24和36的最大公因数。使用辗转相除法，我们得到最大公因数为12。因此，改建后的长方形花坛的宽为12米。2. 被3、5、7除余特定数的问题答案：这个数最小是59。解析：我们需要找到一个数，它除以3余2，除以5余4，除以7余6。这可以通过中国剩余定理来解决，但在这里我们可以使用暴力法来找到最小的这样的数。从最小的可能数（即满足第一个条件的数，即2）开始尝试，直到找到满足所有条件的数。在这种情况下，我们会发现59是满足所有条件的最小数。3. 布料裁剪问题答案：每个正方形布块的边长是30厘米，能裁剪出4个这样的正方形布块。解析：为了找到正方形布块的最大可能边长，我们需要找到120和90的最大公因数，这是
