增广函数应用题例题讲解PPT

增广函数（Extended Function）通常指的是在原函数的基础上增加一些额外的条件或约束，使得函数的定义域、值域或性质发生变化。在应用题中，增广函...

增广函数（Extended Function）通常指的是在原函数的基础上增加一些额外的条件或约束，使得函数的定义域、值域或性质发生变化。在应用题中，增广函数常常用于解决一些实际问题，比如最值问题、优化问题等。下面我将通过一个具体的例题来讲解增广函数在应用题中的应用。题目描述假设某公司要生产一种新型产品，需要投入固定成本$C_0$（与产量无关），并且每生产一个单位的产品需要增加可变成本$c$。假设市场上对该产品的需求函数为$D(p) = a - bp$（其中$a > 0$，$b > 0$，$p$为产品价格），即需求量与价格成反比。公司希望通过调整产品价格$p$来最大化总利润$L$。问题分析利润函数构建首先，我们需要构建总利润$L$的函数。总利润等于总收入减去总成本，即$L = p \times D(p) - (C_0 + c \times D(p))$。将需求函数$D(p) = a - bp$代入，得到$L = p(a - bp) - (C_0 + c(a - bp))$增广函数引入为了简化问题，我们可以将利润函数$L$进行整理，得到一个关于$p$的二次函数。这个二次函数就是我们的增广函数。通过求解这个二次函数的最大值，我们可以找到最优的产品价格$p$求解最优解使用二次函数的性质（如顶点公式或配方法）求解增广函数的最大值，从而得到最优的产品价格$p$解题步骤构建利润函数$L = p(a - bp) - (C_0 + c(a - bp))$$= pa - p^2b - C_0 - ca + cbp$$= -p^2b + (a - c)p - C_0$这是一个关于$p$的二次函数，其中$a, b, c, C_0$都是已知常数求解增广函数的最优解由于二次项系数为负（$-b < 0$），二次函数开口向下，因此存在最大值。根据二次函数的顶点公式，最大值出现在$p = -\frac{b}{2a}$，即$p = \frac{a - c}{2b}$代入求解最大利润将$p = \frac{a - c}{2b}$代入利润函数$L$，可以求得最大利润$L_{\text{max}}$结论通过引入增广函数并求解二次函数的最大值，我们找到了最优的产品价格$p$以及对应的最大利润$L_{\text{max}}$。公司可以根据这些信息来制定生产计划，实现利润最大化。拓展思考本题中，我们假设了需求函数为线性函数，实际上需求函数可能更加复杂。此外，还可以考虑其他因素，如库存成本、生产能力限制等，进一步丰富模型。通过引入增广函数，我们可以将这些因素整合到模型中，从而得到更加符合实际情况的解决方案。