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最大公倍数概念最大公倍数（Greatest Common Divisor，GCD）是一个数学概念，用于描述两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。与之对应的...

最大公倍数概念最大公倍数（Greatest Common Divisor，GCD）是一个数学概念，用于描述两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。与之对应的是最小公倍数（Least Common Multiple，LCM），它表示两个或多个整数的公倍数中最小的一个。最大公倍数的定义对于任意两个整数a和b（a>0，b>0），如果存在另一个整数m，使得a和b都能被m整除，那么m就是a和b的公倍数。在所有这些公倍数中，最小的一个就是a和b的最小公倍数，通常记作LCM(a,b)。最大公倍数的求法求两个数的最大公倍数，有多种方法，常见的方法有：辗转相除法这是求最大公倍数最经典的方法。具体步骤是，用较大数除以较小数，再用除数除以出现的余数，如此反复，直到最后余数为0为止，此时除数即为所求的最大公倍数分解质因数法将两个数分别分解质因数，然后将它们共有的质因数和各自独有的质因数全部乘起来，所得的积就是它们的最大公倍数最大公倍数的性质唯一性两个数的最大公倍数是唯一的有限性两个数的最大公倍数是有限的交换律LCM(a,b) = LCM(b,a)结合律LCM(a,LCM(b,c)) = LCM(LCM(a,b),c)习题一、填空题8和12的最大公倍数是________15和25的最大公倍数是________已知a=2×3×5b=2×5×7，那么a和b的最大公倍数是________二、判断题两个数的最大公倍数一定大于这两个数（ ）任意两个数的最大公倍数都能被这两个数整除（ ）两个数的最大公倍数就是这两个数的乘积（ ）三、选择题下面哪组数的最大公倍数是12？A. 2和6B. 3和4C. 4和6如果a和b的最大公倍数是24那么a和b可能是（ ）。A. 8和16B. 12和36C. 6和8两个数的最大公倍数是18其中一个数是9，另一个数可能是（ ）。A. 2B. 6C. 12四、计算题求24和36的最大公倍数求18、24和30的最小公倍数如果a和b的最大公倍数是28且a=7，求b的值五、应用题一块正方形地砖的边长是60厘米另一块正方形地砖的边长是45厘米。这两块地砖的最小公倍数边长是多少厘米？一个长方形的长和宽分别是12厘米和15厘米如果要裁成若干同样大小的正方形而没有剩余，那么裁出的正方形的边长最大是多少厘米？答案及解析填空题解析【答案】24【解析】8=2×2×212=2×2×3，所以8和12的最大公倍数是2×2×2×3=24【答案】75【解析】15=3×525=5×5，所以15和25的最大公倍数是3×5×5=75【答案】210【解析】a和b的公共质因数是2和5a独有的质因数是3，b独有的质因数是7，所以a和b的最大公倍数是2×5×3×7=210判断题解析【答案】×【解析】错误例如，8和16的最大公倍数是16，而16并不大于8和16【答案】√【解析】正确根据最大公倍数的定义，两个数的最大公倍数一定能被这两个数整除【答案】×【解析】错误两个数的最大公倍数不一定等于这两个数的乘积，它通常小于或等于这两个数的乘积，当且仅当两个数互质（即最大公因数为1）时，它们的最大公倍数才等于它们的乘积三、选择题解析【答案】C【解析】A选项中2和6的最大公倍数是6，不符合题意；B选项中，3和4的最大公倍数是12，符合题意；C选项中，4和6的最大公倍数是12，符合题意。但题目要求选择唯一正确的答案，因此选C【答案】A【解析】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；其中8和16是24的因数所以8和16的最大公倍数是24，符合题意；B选项中，12和36的最大公倍数是36，不符合题意；C选项中，6和8的最大公倍数是24，但24不是其中一个数，不符合题意。所以选A【答案】B【解析】因为9是18的因数所以9和18的最大公倍数是18。另一个数可能是18的因数，即可能是1、2、3、6、9、18中的一个。经检验，当这个数是6时，满足条件，所以选B四、计算题解析【答案】72【解析】24=2×2×2×336=2×2×3×3，所以24和36的最大公倍数是2×2×2×3×3=72【答案】60【解析】18=2×3×324=2×2×2×3，30=2×3×5。将这三个数的质因数全部乘起来，得到2×2×2×3×3×5=60，所以18、24和30的最小公倍数是60【答案】b=28【解析】因为a和b的最大公倍数是28且a=7，所以28是7的倍数。根据最大公倍数的定义，b也必须是28的倍数。因此，b=28是满足条件的唯一解五、应用题解析【答案】180厘米【解析】要找出两块地砖的最小公倍数边长需要求60和45的最小公倍数。因为60=2×2×3×5，45=3×3×5，所以60和45的最小公倍数是2×2×3×3×5=180。所以，这两块地砖的最小公倍数边长是180厘米【答案】6厘米【解析】要找出裁出的正方形边长最大是多少厘米需要求12和15的最大公因数。因为12=2×2×3，15=3×5，所以12和15的最大公因数是3。因此，裁出的正方形边长最大是3厘米。但题目要求的是正方形的边长最大是多少厘米，所以我们需要进一步求12和15的最小公倍数。因为12=2×2×3，15=3×5，所以12和15的最小公倍数是2×2×3×5=60。然后，将60厘米分别除以12和15，得到4和4，说明可以裁出边长为6厘米的正方形而没有剩余。所以，裁出的正方形边长最大是6厘米五、应用题解析（续）1. 解析答案：最小公倍数边长是180厘米。解析：要找两块地砖的最小公倍数边长，我们需要求60厘米和45厘米的最小公倍数。最小公倍数可以通过分解两个数的质因数，然后取每个质因数的最高次幂相乘来得到。60 = 2^2 × 3 × 545 = 3^2 × 5所以，60和45的最小公倍数是：LCM(60, 45) = 2^2 × 3^2 × 5 = 180因此，这两块地砖的最小公倍数边长是180厘米。答案：裁出的正方形边长最大是6厘米。解析：要找出裁出的正方形边长最大是多少厘米，我们需要求长方形长和宽的最大公因数，因为这个公因数就是能够整除长和宽的最大边长。然后，我们还需要验证这个边长是否真的能够整除长和宽，以确保没有剩余。12 = 2^2 × 315 = 3 × 5所以，12和15的最大公因数是3。但是，如果我们仅仅以3厘米为边长来裁剪，那么长和宽都不能被整除，会有剩余。因此，我们需要继续求12和15的最小公倍数。LCM(12, 15) = 2^2 × 3 × 5 = 60现在，我们将60厘米分别除以12和15，结果是：60 ÷ 12 = 560 ÷ 15 = 4这意味着我们可以将长方形裁剪成5个宽为3厘米、4个长为5厘米的正方形，而没有剩余。因此，裁出的正方形边长最大是6厘米。2. 答案及解析（续）如果一个数a能被另一个数b整除，并且b能被c整除，那么a能被c整除吗？请证明你的答案答案：是的，a能被c整除。解析：根据整除的传递性，如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么a也能被c整除。这是因为整除关系具有传递性，即如果a÷b余数为0，并且b÷c余数为0，那么a÷c的余数也必然为0。因此，我们可以得出结论：如果一个数能被另一个数整除，并且后者又能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。找出10和15的最小公倍数和最大公因数答案：最小公倍数是30，最大公因数是5。解析：首先，我们求10和15的最大公因数。分解它们的质因数：10 = 2 × 515 = 3 × 5它们共同的质因数是5。因此，10和15的最大公因数是5。接下来，求10和15的最小公倍数。将它们的所有质因数都乘起来：LCM(10, 15) = 2 × 3 × 5 = 30因此，10和15的最小公倍数是30。六年级最大公倍数和最小公倍数练习题一、填空题已知两个数的最大公因数是4最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是（ ）两个数的最大公因数是12最小公倍数是180，其中一个数是36，另一个数是（ ）把48本练习本和64支铅笔平均分给若干名同学如果练习本和铅笔都没有剩余，且保证分到练习本和铅笔的同学人数相同，最多能分给（ ）名同学二、判断题任意两个数的最小公倍数一定大于它们的最大公因数（ ）如果两个数的最大公因数是1那么这两个数一定互质。（ ）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大（ ）三、选择题两个数的最大公因数是4最小公倍数是252，其中一个数是36，则另一个数是多少？正确的列式是（ ）。A. 252 × 4 ÷ 36B. 252 ÷ 4 × 36C. 252 ÷ 36 × 4已知A=2×2×3×5B=2×3×7，那么A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。A. 6B. 210C. 30D. 12四、计算题求下面每组数的最大公因数和最小公倍数（1）18和24（2）21和35（3）48和72如果a和b的最大公因数是12最小公倍数是180，且a:b=3:5，那么a=（ ），b=（ ）五、应用题一块长方形地长24米，宽18米。如果要在这块地上划成若干正方形而没有剩余，并且正方形的边长要尽可能大，那么正方形的边长应是多少米？一张长75厘米、宽60厘米的长方形纸要裁成若干同样大小的正方形而没有剩余，裁出的小正方形的边长最大是多少厘米？答案及解析填空题解析【答案】9【解析】根据最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积可得另一个数=252×4÷28=36【答案】30【解析】根据最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积可得另一个数=12×180÷36=60【答案】16【解析】根据题意要使得分到练习本和铅笔的同学人数相同，需要找到48和64的最大公因数，即最大公因数是16，所以最多能分给16名同学判断题解析【答案】×【解析】错误两个数的最小公倍数不一定大于它们的最大公因数，例如，4和6的最小公倍数是12，而它们的最大公因数也是2，所以最小公倍数并不大于最大公因数【答案】√【解析】正确如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数互质，即它们的最大公因数是1，没有其他的公因数【答案】×【解析】错误两个数的最小公倍数不一定比这两个数都大，例如，4和6的最小公倍数是12，而12并不大于4和6选择题解析【答案】C【解析】根据最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积可得另一个数=252÷36×4=28。因此，正确的列式是252÷36×4，故选C【答案】C；B【解析】A=2×2×3×5B=2×3×7，那么A和B的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×2×3×5×7=420。因此，正确答案是C和B计算题解析【答案】（1）最大公因数是6最小公倍数是72。（2）最大公因数是7，最小公倍数是105。（3）最大