期望与方差PPT

在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念。期望期望或者期望值是随机变量取值的平均或者“期望”值。对于离散随机变量，期望值的计算公式是：对于连续随机变...

在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念。期望期望或者期望值是随机变量取值的平均或者“期望”值。对于离散随机变量，期望值的计算公式是：对于连续随机变量，期望值的计算公式是：其中，X是随机变量，P(X = x_i)是随机变量X取值为x_i的概率，f(x)是随机变量X的概率密度函数。期望的性质对于任何随机变量X期望值E(X)都存在对于常数c有E(c) = c对于两个随机变量X和Y有E(X+Y) = E(X) + E(Y)对于两个随机变量X和Y如果X和Y独立，那么E(XY) = E(X)E(Y)对于一个随机变量X和一个常数c有E(cX) = cE(X)方差方差是用来衡量随机变量取值分散程度的度量。方差的计算公式是：或者对于连续随机变量：其中，X是随机变量，P(X = x_i)是随机变量X取值为x_i的概率，f(x)是随机变量X的概率密度函数，E(X)是随机变量X的期望值。方差和标准差方差衡量的是随机变量的取值相对于期望值的分散程度，但这个分散程度的度量并不直接告诉我们这些取值的具体范围。为了更好地理解这一点，我们引入了标准差的概念。标准差是方差的平方根，它给出了随机变量取值的一个更直观的分散度量。标准差的计算公式是：对于离散随机变量σ=Σ(x_i−E(X))2P(X=x_i)−E(X)21　或　　σ=∫x−E(X)2f(x)dx−E(X)2\sigma = \sqrt{\sum_{i}(x_i - E(X))^2 P(X = x_i)} \text{ 或 } \sigma = \sqrt{\int (x - E(X))^2 f(x) dx}σ=Σ(x i−E(X))2P(X=x i) −E(X)21 或 σ=∫x−E(X)2f(x)dx−E(X)2标准差的单位与随机变量的单位一致方差和标准差的性质对于任何随机变量X方差Var(X)和标准差σ都大于或等于0。当Var(X)等于0时，X的取值全部相等；当σ等于0时，X的取值全部等于其期望值对于常数c有Var(c) = 0，但σ不一定为0。对于标准正态分布N(μ, σ^2)，若c为均值μ，则Var(c) = σ^2 (即方差)，此时σ=σ也为正态分布的参数之一对于两个随机变量X和Y有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。但对于标准差，这个规则不成立，即σ(X+Y) ≠ σ(X) + σ(Y)。不过，若X和Y独立同分布，则有σ=(X+Y)=σ\sqrt{Var(X)+Var(Y)}