连续型随机变量及其概率密度PPT

连续型随机变量及其概率密度函数是概率论和统计学中重要的概念。在连续随机试验中，由于试验结果可以取到无穷多个可能值中的任意一个，因此试验结果可以用一个实数来...

连续型随机变量及其概率密度函数是概率论和统计学中重要的概念。在连续随机试验中，由于试验结果可以取到无穷多个可能值中的任意一个，因此试验结果可以用一个实数来表示，这种实数称为连续型随机变量。连续型随机变量1.1 定义在概率论中，我们将具有以下特性的实值函数X(ω)称为随机变量：对于每次试验X(ω)的值在某个范围内变化对于不同的试验结果X(ω)的值是不同的X(ω)的值具有一定的概率分布如果随机变量的值可以取到一个可数无穷集合中的任意一个数，则称该随机变量为连续型随机变量。1.2 例子如果随机变量X的概率密度函数为正态分布函数，即$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中μ是均值，σ是标准差，则X是连续型随机变量。如果随机变量X的概率密度函数为指数分布函数，即$$f(x)=\frac{1}{\lambda}e^{-(x/\lambda)}$$其中λ是均值，则X是连续型随机变量。概率密度函数2.1 定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)定义为：$$f(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{P(x<X \leq x+\Delta x)}{\Delta x}$$其中P(x<X ≤ x+Δx)表示事件“X的值在(x,x+Δx)之间”的概率。2.2 性质概率密度函数f(x)是非负的，即对于任意的实数x，都有f(x)≥0。这是因为概率值永远是非负的。概率密度函数f(x)在实数范围内的积分等于1，即$\int_{- \infty}^{+ \infty} f(x)dx=1$。这是因为概率的分布是有限的，并且所有可能的取值都被包括在内了。2.3 例子对于正态分布随机变量X，其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中μ是均值，σ是标准差。该函数具有以下性质：